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\documentclass{acm_proc_article-sp}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{color}

\begin{document}

\title{Modelado y comparaci\'on de estrategias para el calefaccionamiento de edificios}
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Tom\'as Alvarez$^1$
       \email{talvarez@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Carlos Castro$^1$
       \email{cacastro@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Gabriel Cosi$^1$
       \email{gcosi@alu.itba.edu.ar}
\and
\alignauthor
Jos\'e Indalecio Liendro$^1$
       \email{jliendro@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Gast\'on Ponti$^1$
       \email{gponti@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Cristian Prieto$^1$
       \email{gprieto@alu.itba.edu.ar}
}
\date{29 Agosto 2011}
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\maketitle
{\color{white}\footnote[1]{ITBA}}


\section{Introducción}


El objetivo del presente trabajo es analizar y contrastar estrategias para el calefaccionamiento de un edificio. Para esto, es necesario modelar la variaci\'on de temperatura del interior $T$ como funci\'on del tiempo.
Durante el trabajo consideramos dos modelados distintos, y los comparamos tanto desde el punto de vista de los resultados de temperatura, como de la energ\'ia requerida.
Para los modelados, y las posteriores simulaciones, consideramos el sistema como din\'amico continuo determinista, es decir, modelable mediante una ecuaci\'on diferencial.

%TODO:INTRO
\section{Modelado}
La temperatura interior $T$ de un edificio puede variar a un ritmo dado por la ecuaci\'on \eqref{tempVariation}.

\begin{equation}\label{tempVariation}
 \frac{dT}{dt} = k(T_{out} - T) + k_u(T^\star - T)
\end{equation}

Siendo $T_{out}$ la temperatura exterior del edificio, $T^\star$ la temperatura fijada por un sistema de aire acondicionado, $k$ y $k_u$ constantes de enfriamiento, que representan el grado en el que impactan la temperatura exterior y la del aire acondicionado respectivamente sobre $T$. El primer termino corresponde al cambio de temperatura debido a la temperatura exterior al edificio, mientras que el segundo t\'ermino corresponde al cambio producido por la temperatura regulada por el aire acondicionado.

Por otro lado, para la \'epoca del año del modelado, la variaci\'on diurna de la temperatura exterior la modelamos seg\'un la ecuaci\'on \eqref{dailytempvar},

\begin{equation}\label{dailytempvar}
 T_{out}(t) = 10 - 6 \cos\frac{2\pi t}{24}
\end{equation}

donde la temperatura se mide en grados celsius y el tiempo $t$ en horas.

De la ecuaci\'on \eqref{dailytempvar}, y partiendo del hecho de que el valor medio de la funci\'on coseno es $0$, llegamos a que $\overline{T}_{out} = 10$.


Si $T^\star$ se fija de manera tal que se cumple la ecuaci\'on \eqref{desiredtempcondition},

\begin{equation}\label{desiredtempcondition}
 k(\overline{T}_{out} - T_D) + k_u(T^\star - T_D) = 0
\end{equation}

para una temperatura interior deseada $T_D$, siendo $\overline{T}_{out}$ la temperatura media diaria exterior, operando algebraicamente obtenemos la expresi\'on para $T^\star$, dada por la ecuaci\'on \eqref{tstarexpr}.

\begin{equation}\label{tstarexpr}
 T^\star = - \frac{k}{k_u}(\overline{T}_{out} - T_D) + T_D
\end{equation}

Luego, sustiyendo \eqref{tstarexpr} en \eqref{tempVariation}, y operando algebraicamente obtenemos la expresi\'on para $\frac{dT}{dt}$ dada en la ecucaci\'on \eqref{tempVariation2}.

\begin{equation}\label{tempVariation2}
 \frac{dT}{dt} = k(T_{out} - T - \overline{T}_{out} + T_D) + k_u(T_D - T)
\end{equation}

la cual puede reescribirse para obtener la ecucaci\'on \eqref{tempVariation3}.

\begin{equation}\label{tempVariation3}
 \frac{dT}{dt} = k(T_{out} - \overline{T}_{out}) + (k + k_u)(T_D - T)
\end{equation}


\section{Simulaci\'on}
Mediante la simulaci\'on de la temperatura del modelo \eqref{tempVariation}, obtenemos la temperatura en funci\'on del tiempo $T(t)$, utilizando el m\'etodo de resoluci\'on de ecuaciones diferenciales \textbf{Runge Kutta} de orden $\vartheta(4)$, para valores del coeficiente de enfriamiento $k$: $0.25, 0.5, 1, 2, 5, 10, 15, 20$. Los resultados los podemos apreciar en la figura \ref{figure0}, donde tambi\'en observamos la temperatura exterior en funci\'on del tiempo $T_{out}(t)$. En la figura \ref{figure1} podemos ver la amplitud de la temperatura $T(t)$ en funci\'on del coeficiente de enfriamiento $k$ para los mismos valores antes mencionados.


Observando los resultados, vemos que la temperatura del interior del edificio $T(t)$ oscila alrededor de la temperatura de comfort $TD$ y lo hace con mayor amplitud a medida que $k$ aumenta. Tambi\'en observamos como la amplitud de la curva $T(t)$ se va acercando a la amplitud de la curva de $T_{out}(t)$ a medida que $k$ crece.

Analizando estos resultados, podemos concluir que cuando $k$ tiende a $0$, 
la amplitud de las oscilaciones disminuye, con lo cual la constante $k$ refleja la transferencia de energ\'ia cal\'orica desde el exterior del edificio hacia el interior. Podr\'iamos evitar las oscilaciones con un valor de $k = 0$ de forma tal que la temperatura se mantenga permanentemente en $T(t) = TD$ en r\'egimen permanente, que ser\'ia equivalente a que el edificio est\'e t\'ermicamente aislado del exterior. Por otra parte, para valores de $k \geq 10$ la temperatura del sistema se comporta exactamente como la temperatura exterior.

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/Puntob1.png}
\caption{Temperatura para distintos valores de k y temperatura exterior}
\label{figure0}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/Puntob2.png}
\caption{Amplitud de la Temperatura para distintos valores de k}
\label{figure1}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/Puntob1zoom.png}
\caption{Detalle de temperatura para distintos valores de k}
\label{figure2}
\end{figure*}

\section{Comparaci\'on de Modelos}

Para poder tener una medida de comparaci\'on entre ambos modelos, calculamos la distancia euclidiana (\ref{euclediana}) para cada punto, respecto a la temperatura deseada. De esta forma logramos determinar cual modelo es  mejor, siendo el de menor distacia, el m\'as estable con respecto a su variaci\'on de temperatura y por lo tanto el m\'as confortable.

\begin{equation}\label{euclediana}
d(T,T_D)= \sqrt{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n(Ti-T_D)^2}
\end{equation}

Teniendo en cuenta que buscamos saber cual de los modelos es mejor, nos detenemos a analizarlos cuando ambos se encuentran en sus reg\'imenes estacionarios, dado que las condiciones iniciales pueden afectar de forma distinta a cada modelo, y no es la parte central de esta parte del an\'alisis.

Como observamos en la figura \ref{figure3} la curva del segundo modelo (\ref{model2}) posee una distancia euclidiana menor respecto a la temperatura deseada ($TD = 20$) cuando alcanza su r\'egimen estacionario. Por lo tanto afirmamos que el segundo modelo es el mejor con respecto a estabilidad de temperatura, cuando alcanza su re\'egimen estacionario.


\begin{figure*}\label{figure3}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/Puntoc.png}
\caption{Modelo 1 vs modelo 2 en función del tiempo}
\end{figure*}

\begin{equation}\label{model2}
 \frac{dT}{dt} = k(T_{out} - \overline{T}_{out}) + u
\end{equation}


\begin{equation}
u=\left\{ \begin{array}{llcl}
         &4^{\circ}  Ch^{-1} & si &T< T_D\\
        -&1 ^{\circ} Ch^{-1} & si &T > T_D+1
          \end{array} \right.
\end{equation}

\section{Consumo de Energ\'ia}

\begin{equation}\label{energy1}
E_1= \int_0^{48}k_u | T^*-T| dt
\end{equation}

\begin{equation}\label{energy2}
E_2= \int_0^{48}|u| dt
\end{equation}

Para ambos modelos de cambio de temperatura, analizamos la energ\'ia consumida en la calefacci\'on del edificio durante 48 hs. Esto a trav\'es de las ecuaciones (\ref{energy1}) y (\ref{energy2}), que corresponden al primer modelo dado por la ecuaci\'on (\ref{tempVariation3}) y al segundo dado por (\ref{model2}).


Para el c\'alculo integral de ambas expresiones de energ\'ia utilizamos el m\'etodo de trapecio, que tiene un error proporcional a la segunda derivada.


As\'i comparamos el consumo energ\'etico para distintos valores de $k$ por ambos modelos. En la figura \ref{f_energy} vemos los resultados con escala logar\'itmica. Donde claramente podemos concluir que el primer modelo es totalmente ineficiente en el consumo de energ\'ia compar\'andolo con el segundo, que tiene un comportamiento constante y ciento de veces menor.

Estimamos que la causa del aumento de consumo energ\'etico est\'a relacionada con el aumento de las oscilaciones del primer modelo (\ref{tempVariation3}) a medida que $k$ incrementa. Es decir que necesitamos de una mayor cantidad de trabajo por parte del aire acondicionado, dado que la temperatura dentro del edificio tiende a imitar la temperatura exterior, adem\'as de tener que estabilizar amplitudes de mayor tamaño.

Por las mismas razones inversas, dada la disminuci\'on de las oscilaciones, el trabajo realizado para regular la temperatura interior del edificio en (\ref{model2}), resulta en un consumo casi constante de energ\'ia.


\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/Puntod.png}
\caption{Energía para distintos valores de k en ambos modelos}
\label{f_energy}
\end{figure*}


\end{document}
